Formulario: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

1.2.1 Variables separables y reducibles

Se pueden escribir como:

\[ \frac{dy}{dx} = g(x) h(y) \]

Separando variables e integrando:

\[ \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)dx \]

1.2.2 Ecuaciones homogéneas

De la forma \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \), con \( M \) y \( N \) funciones homogéneas de igual grado.

Se usa el cambio de variable \( v = \frac{y}{x} \).

1.2.3 Ecuaciones exactas

De la forma:

\[ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \]

Es exacta si se cumple:

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \]

1.2.4 Ecuaciones lineales

De la forma:

\[ y' + p(x)y = q(x) \]

Se resuelven con el factor integrante:

\[ \mu(x) = e^{\int p(x)dx} \]

1.2.5 Ecuación de Bernoulli

De la forma:

\[ y' + p(x)y = q(x)y^n \]

Se transforma en una ecuación lineal con el cambio \( v = y^{1-n} \).

1.3 Aplicaciones

1.1 Teoría preliminar

1.1.1 Definiciones

• Ecuaciones diferenciales: \( \frac{dy}{dx} = ky \) (modelo de crecimiento/exponencial)
• Orden y grado:
  • Orden 1: \( \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) \)
  • Orden 2: \( \frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x)y = 0 \)
• Linealidad: Circuitos eléctricos: \( L\frac{dI}{dt} + RI = V(t) \)

1.1.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales

• Ley de Enfriamiento de Newton: \( \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\infty}) \) → Se usa para predecir la temperatura de un objeto en un ambiente.

1.1.3 Problema de valor inicial

• Carga de un capacitor en un circuito RC: \( R \frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = 0 \), con \( Q(0) = Q_0 \).

1.1.4 Teorema de existencia y unicidad

• Movimiento de un objeto con fricción: \( m\frac{dv}{dt} = -kv \), garantiza solución única para la velocidad \( v(t) \).

1.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

1.2.1 Variables separables y reducibles

• Crecimiento poblacional: \( \frac{dP}{dt} = rP(1 - \frac{P}{K}) \) (Ecuación logística).

1.2.2 Homogéneas

• Difusión del calor en un alambre uniforme: \( \frac{dT}{dx} = \frac{-k}{T} \).

1.2.3 Exactas

• Trabajo en termodinámica: \( PdV + VdP = 0 \), aplicado a gases ideales.

1.2.4 Lineales

• Ley de decaimiento radiactivo: \( \frac{dN}{dt} + \lambda N = 0 \), donde \( N \) es la cantidad de átomos radiactivos.

1.2.5 Ecuación de Bernoulli

• Flujo de un fluido en una tubería: \( v \frac{dv}{dx} + \frac{g}{v} = 0 \), para estudiar la variación de velocidad.