T3 Transformada de Laplace
3.1 Teoría preliminar
3.1.1 Definición de la transformada de Laplace. Propiedades.
La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite transformar una función del dominio del tiempo a una función en el dominio complejo (frecuencia). Se denota por L{f(t)} = F(s).
3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de una función
Para que una función tenga transformada de Laplace, debe ser de crecimiento exponencial acotado y estar definida para t ≥ 0.
3.2 Transformada directa
| f(t) | L {f(t)} |
|---|---|
| 1 | 1 / s |
| t | 1 / s² |
| t² | 2! / s³ |
| tⁿ | n! / sⁿ⁺¹ |
| eat | 1 / (s - a) |
| sen at | a / (s² + a²) |
| cos at | s / (s² + a²) |
| senh at | a / (s² - a²) |
| cosh at | s / (s² - a²) |
3.3 Transformada inversa
| F(s) | f(t) = L⁻¹ {F(s)} |
|---|---|
| 1 / s | 1 |
| 1 / s² | t |
| 2! / s³ | t² |
| n! / sⁿ⁺¹ | tⁿ |
| 1 / (s - a) | eat |
| a / (s² + a²) | sen at |
| s / (s² + a²) | cos at |
| a / (s² - a²) | senh at |
| s / (s² - a²) | cosh at |
OBSERVACIÓN: L y L⁻¹ son operaciones recíprocas. Es decir:
- L {f(t)} = F(s) → L⁻¹ {F(s)} = f(t)
- L⁻¹ {F(s)} = f(t) → L {f(t)} = F(s)
3.4 Función escalón unitario
La función escalón unitario se define como u(t-a) y su transformada de Laplace es e-asF(s).
3.5 Teoremas de traslación
El primer teorema de traslación permite desplazar funciones en el dominio del tiempo, mientras que el segundo ajusta la función exponencialmente en el dominio de Laplace.
3.6 Transformada de funciones multiplicadas por tⁿ, y divididas entre t
Multiplicar f(t) por tⁿ corresponde a derivar n veces F(s) con respecto a s. Dividir entre t requiere transformadas integrales.
3.7 Transformada de una derivada y derivada de una transformada
La transformada de f'(t) es sF(s) - f(0). La derivación en el dominio de Laplace se traduce en multiplicar por s.
3.8 Teorema de convolución
La transformada de la convolución f*g es el producto de sus transformadas: L{f*g} = F(s)G(s).
3.9 Transformada de una integral
La transformada de la integral de f(t) desde 0 hasta t es F(s)/s.
3.10 Transformada de una función periódica
Si f(t) es periódica con periodo T, entonces L{f(t)} = (1 / (1 - e-sT)) * ∫0T e-stf(t) dt.
3.11 Transformada de la función delta de Dirac
L{δ(t - a)} = e-as.