4.1 Teoría Preliminar
4.1.1 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Un sistema lineal tiene la forma:
\[ \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = a_{11}x + a_{12}y + f_1(t) \\\\ \dfrac{dy}{dt} = a_{21}x + a_{22}y + f_2(t) \end{cases} \]
Las funciones incógnitas aparecen en primer grado y no se multiplican entre sí.
4.1.2 Sistemas homogéneos
Cuando los términos independientes son cero:
\[ \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = 3x + 4y \\\\ \dfrac{dy}{dt} = -4x + 3y \end{cases} \]
Estos sistemas se resuelven usando autovalores y autovectores.
4.1.3 Solución general y particular
Solución general: combinación lineal de soluciones independientes.
Solución particular: satisface condiciones iniciales o incluye términos forzados.
\[ \vec{X}(t) = \vec{X}_h(t) + \vec{X}_p(t) \]
4.2 Métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Para resolver un sistema lineal de la forma:
\[ \dfrac{d\vec{X}}{dt} = A\vec{X} + \vec{F}(t) \] donde: - \( A \) es una matriz de coeficientes constantes. - \( \vec{F}(t) \) es un vector de funciones conocidas.
1️⃣ Método de autovalores y autovectores
Sirve para sistemas homogéneos (\( \vec{F}(t) = 0 \)). Consiste en:
- Encontrar los autovalores (\( \lambda \)) resolviendo \( \det(A - \lambda I) = 0 \).
- Encontrar los autovectores asociados a cada \( \lambda \).
- Formar las soluciones del tipo \( \vec{X}(t) = c e^{\lambda t} \vec{v} \).
Si los autovalores son complejos, las soluciones toman forma trigonométrica usando las fórmulas de Euler.
2️⃣ Método de reducción de orden
Este método transforma un sistema de varias ecuaciones en una sola ecuación diferencial de orden superior, que luego se resuelve por métodos conocidos. Después se sustituyen las soluciones encontradas en las ecuaciones originales para hallar las demás variables.
3️⃣ Diagonalización (Cambio de base)
Si la matriz \( A \) es diagonalizable, podemos escribir:
\[ A = PDP^{-1} \] donde \( D \) es diagonal. Esto simplifica el sistema a:
\[ \dfrac{d\vec{Y}}{dt} = D\vec{Y} \] con el cambio de variable \( \vec{Y} = P^{-1} \vec{X} \), y cada ecuación resultante se resuelve de manera independiente.
4️⃣ Método de variación de parámetros
Para sistemas no homogéneos (\( \vec{F}(t) \neq 0 \)), se usa la matriz fundamental de soluciones \( \Phi(t) \), y se plantea:
\[ \vec{X}_p(t) = \Phi(t) \int \Phi^{-1}(t) \vec{F}(t) dt \] para encontrar una solución particular.
Resumen
- Sistemas homogéneos: usa autovalores y autovectores, o diagonalización.
- Sistemas no homogéneos: primero resuelve la parte homogénea, luego usa variación de parámetros o transformada de Laplace para la parte particular.
4.3 Método de los operadores
Usamos el operador \( D = \dfrac{d}{dt} \) para transformar las ecuaciones en expresiones algebraicas:
\[ (D - 3)x + 2y = 0 \] \[ 3x + (D + 1)y = 0 \]
Esto permite simplificar la resolución del sistema, manipulándolo como si fuera algebraico en operadores.
4.4 Usando la transformada de Laplace
La transformada de Laplace convierte un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema algebraico más fácil de resolver.
Ejemplo:
Tenemos el sistema:
\[ \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = a_{11}x + a_{12}y \\\\ \dfrac{dy}{dt} = a_{21}x + a_{22}y \end{cases} \]
- Aplicamos la transformada de Laplace:
\[ sX(s) - x(0) = a_{11}X(s) + a_{12}Y(s) \] \[ sY(s) - y(0) = a_{21}X(s) + a_{22}Y(s) \]
- Resolvemos el sistema algebraico para \( X(s) \) y \( Y(s) \).
- Aplicamos la transformada inversa para obtener \( x(t) \) y \( y(t) \).
Este método es muy útil para sistemas con condiciones iniciales y entradas complicadas.
4.5 Aplicaciones
Sistema masa-resorte acoplado
Dos masas acopladas por resortes siguen:
\[ \begin{cases} m_1 \dfrac{d^2x_1}{dt^2} = -k_1x_1 + k_2(x_2 - x_1) \\\\ m_2 \dfrac{d^2x_2}{dt^2} = -k_3x_2 + k_2(x_1 - x_2) \end{cases} \]
Introduciendo \( v_1 = \dfrac{dx_1}{dt} \) y \( v_2 = \dfrac{dx_2}{dt} \) podemos reducir el sistema a primer orden.
Circuitos eléctricos RLC
Una sola malla RLC:
\[ L \dfrac{d^2q}{dt^2} + R \dfrac{dq}{dt} + \dfrac{1}{C}q = E(t) \]
Dos mallas acopladas:
\[ \begin{cases} L_1 \dfrac{di_1}{dt} + R_1 i_1 + M \dfrac{di_2}{dt} = E_1(t) \\\\ M \dfrac{di_1}{dt} + L_2 \dfrac{di_2}{dt} + R_2 i_2 = E_2(t) \end{cases} \]
Esto forma un sistema de primer orden en términos de \( i_1 \) e \( i_2 \).