Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Formulario

2.1 Teoría preliminar

2.1.1 Definición de ecuación diferencial de orden n

Una ecuación diferencial de orden \( n \) es aquella que involucra la derivada de orden \( n \) de una función desconocida. Estas ecuaciones modelan numerosos fenómenos físicos, como oscilaciones mecánicas y circuitos eléctricos.

Ejemplo: \( y'' + 3y' + 2y = 0 \) es una ecuación diferencial de segundo orden.

2.1.2 Problemas de valor inicial

Un problema de valor inicial consiste en encontrar una solución a una ecuación diferencial que satisface ciertas condiciones iniciales específicas, por ejemplo, \( y(0) = 2 \) y \( y'(0) = -1 \).

2.2.1 Ecuación Característica de una EDO de Orden Superior

Resumen de soluciones según las raíces auxiliares:

Caso	Raíces auxiliares	Conjunto fundamental	Solución general
Raíces reales diferentes	m1, m2	{em1x, em2x}	y = C1 em1x + C2 em2x
Raíces reales repetidas	m de multiplicidad 2	{emx, xemx}	y = C1 emx + C2 xemx
Raíces complejas conjugadas	a ± bi	{eax cos bx, eax sen bx}	y = eax (C1 cos bx + C2 sen bx)

2.1.3 Teorema de existencia y unicidad

Este teorema establece que si \( f(x, y) \) y \( \frac{\partial f}{\partial y} \) son continuas en un intervalo, entonces existe una única solución que pasa por un punto dado.

2.1.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Son ecuaciones en las que todos los términos dependen linealmente de la función desconocida y sus derivadas.

Ejemplo: \( y'' - 4y' + 4y = 0 \) es una ecuación homogénea.

2.1.4.1 Principio de Superposición

Tabla de soluciones particulares tentativas:

g(x)	Forma de yp
1 (una constante)	A
5x + 7	Ax + B
3x² - 2	Ax² + Bx + C
x³ - x + 1	Ax³ + Bx² + Cx + E
sen 4x	A cos 4x + B sen 4x
cos 4x	A cos 4x + B sen 4x
ex	Aex
(9x - 2) ex	(Ax + B) ex
x² ex	(Ax² + Bx + C) ex
x sen 4x	Ax sen 4x + Bx cos 4x
5x² sen 4x	(A x² + Bx + C) cos 4x + (E x² + Fx + G) sen 4x
x² ex cos 4x	(A + Bx) ex cos 4x + (C x + E) ex sen 4x

2.1.5 Dependencia e independencia lineal. Wronskiano

El Wronskiano es una herramienta utilizada para determinar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente.

Ejemplo: Para \( y_1 = e^x \) y \( y_2 = xe^x \), su Wronskiano es:

\( W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} e^x & xe^x \\ e^x & e^x + xe^x \end{vmatrix} \).

2.4 La ecuación diferencial de Cauchy-Euler

Este tipo de ecuaciones tiene la forma \( x^2 y'' + ax y' + by = 0 \) y se resuelve usando la sustitución \( y = x^r \).

La ecuación diferencial de Cauchy-Euler

Ecuación de Cauchy-Euler o ecuación equidimensional

Toda ecuación diferencial lineal de la forma:

a_nxⁿ dⁿy/dxⁿ + ... + a₀y = g(x)

Caso I: Raíces reales distintas

Sean m₁ y m₂ las raíces reales de la ecuación, tales que m₁ ≠ m₂. Entonces:

y₁ = x^m1, y₂ = x^m2

Solución: y = c₁x^m1 + c₂x^m2

Caso II: Raíces reales repetidas

y = c₁x^m + c₂x^m ln(x)

Caso III: Raíces complejas conjugadas

y = x^α [ c₁ cos(β ln x) + c₂ sen(β ln x) ]